全概率公式
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在概率论与数理统计中，有两个相当重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式。然而很多人对这两个公式感到非常迷茫。一来不知道公式背后的意义所在，二来不知道这些冰冷的公式能有什么现实应用。
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把样本空间划分成容易研究的几种情况。
全概率公式（由原因到结果）考察在每一种情况下事件B发生的概率，计算B的概率。
Bayes公式（由结果到原因）在事件B发生的条件下，考察每种情况出现的条件概率。
【这是本文的结论，明白了的，请直接看例题】
1. 全概率公式
在讲全概率公式之前，首先要理解什么是“样本空间的划分”【又称“完备事件群”。】
我们将满足
（1）A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件；
这样的一组事件称为一个“完备事件群”。简而言之，就是事件之间两两互斥，所有事件的并集是整个样本空间（必然事件）。
注：全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果.
例1：有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
编外话：
为了检查大家是否真懂公式，这里设P(A)为所求，哈哈！
可以发现，我们在解题过程中，P(A)本身可能不好求，但我们可以根据它散落的“碎片”间接地将其求出。但不是所有情况都是能这样求出的——我们必须保证B1,B2,…,Bn，??是一个样本空间的划分（完备事件群）。
这个也很好理解，假如你想将一个碎掉的花瓶重新还原，碎片如果不全，或者碎片之间出现了多余的“重叠”，还原工作都将以失败告终。
小结
全概率公式问题的精髓是将复杂问题简单化
全概率公式问题的关键是找到划分(完备事件组)
在实际应用中, 这个划分B1,B2,…,Bn是导致A发生的各种可能原因,P(A)是事件A分别在这些原因下发生的条件概率的加权平均。如例1中：
例2：有某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录，有以下的数据：
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少。试求这些概率。
2. 贝叶斯公式
编外话：这个公式本身平平无奇，无非就是条件概率的定义加上全概率公式一起作出的一个推导而已。但它所表达的意义却非常深刻。
在全概率公式中，如果将B看成是“结果”，Ai看成是导致结果发生的诸多“原因”之一，那么全概率公式就是一个“原因推结果”的过程。但贝叶斯公式却恰恰相反。贝叶斯公式中，我们是知道结果A已经发生了，所要做的是反过来研究造成结果发生的原因，是X原因造成的可能性有多大，即“结果推原因”。
例3：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？
例4：某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明，化验结果是有错检的可能的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）。
现某人的检查结果呈阳性，问他真的患有肝癌的概率是多少？
>这表明，在化验结果呈阳性的人中，真患肝癌的人不到30%。
>当然，进一步降低错检率是提高检验精度的关键。但在实际中由于技术和操作等种种原因，降低错检率是很困难的。
>仔细分析一下会发现检验精度低的主要原因是肝癌发病率很低。
譬如，对首次检查呈阳性的人群再进行复查此时P(B)=0.284，这时再用贝叶斯公式计算得
这就大大提高了检验的准确率。
编外话：
这就是为什么体验时，医生让体验者复查的原因（以后不要说数学没用啊）。
例5:无线电通讯中发出X、Y两种信号信号.发出“X”，收到信号“X”，“不清”，“Y”的概率分别为0.7，0.2，0.1；发出信号“Y”，收到信号“X”，“不清”，“Y”的概率分别为0.0，0.1，0.9.已知在发出的信号中，“X” 和“Y”出现的概率分别为0.6和0.4，试分析，当收到信号“不清”时，原发信号为“X”还是“Y”的概率哪个大？
3.条件概率
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